ECON217HWARMA - 7. Den gleitenden Durchschnitt finden. ECON217HWARMA 1. Wenn eine Zeitreihe Kovarianz stationär ist, was wissen wir über E (X t) und COV (X t. X tk) für t 1. T und k 0, 1, 2. 2. Ist ein weißes Rauschen Prozess, was wissen wir über E (X t) und COV (X t. X tk) für t 1. T und k 0, 1, 2. 3. Definieren und vergleichen Sie die Autokorrelationsfunktion und die partielle Autokorrelationsfunktion von Eine stationäre Zeitreihe 4. Angenommen, Y t folgt Y t phi Y t-1 epsilon t epsilon t WN (0. sigma 2). ein. Geben Sie die Annahme (s) auf phi, die stationär machen wird. B. Angenommen ist stationär. Finden Sie die Autokorrelationsfunktion und die partielle Autokorrelationsfunktion. 5. Angenommen, Y t folgt Y t epsilon t theta epsilon t-1 epsilon t WN (0, sigma 2). ein. Geben Sie die Annahme an, die stationär ist. B. Finden Sie die Autokorrelationsfunktion von. C. Notieren Sie die partielle Autokorrelationsfunktion von. 6. Betrachten Sie einen Zeitreihenrekord. Diskutieren Sie, wie Sie ein Zeitreihenmodell mit dem Box-Jenkins dreistufigen Ansatz und dem Informationskriteriumansatz konkretisieren würden. Dies ist das Ende der Vorschau. Melden Sie sich an, um auf den Rest des Dokuments zuzugreifen. Unformatierte Textvorschau: 7. Finden Sie die gleitende Durchschnittsdarstellung, die Impulsantwort und die Prognose für jeden der folgenden Prozesse: a) (1- L) Y t t. B) (1-L) Y t t C) Y t (1 L) t Und d) Y t (1 L) t. 8. Betrachten wir den autoregressiven Prozeß zweiter Ordnung y t a a 2 y t-2 t, wobei a 2 amplt 1. a. Finden: i. E t-2 y t ii E t-1 y t iii E t y t 2 iv. Cov (y t. y t-1) v. Cov (y t y y-t-2) vi Die Teilautokorrelationen 11 und 22b. Finden Sie die Impulsantwortfunktion. Angesichts y t-2. Trace die Effekte auf einen t Schock auf die Sequenz. C. Bestimmen Sie die Prognosefunktion: E t y t s. Der Prognosefehler) (set ist die Differenz zwischen yts und E tyt s. Ableiten des Korrelogramms der Sequenz Hint: Find E t) (se t. Var) (se t. Und) () (jsese E ttt für j 0 Zu s. 9. Enders, Kapitel 2, Frage 11. Vollständiges Dokument anzeigen Diese Notiz wurde am 09292010 für den Kurs ECON Econometri hochgeladen, der von Professor Fairlie während des Winters 03909 bei UCSC unterrichtet wurde. Klicken Sie hier, um die Dokumentdetails zu bearbeitenImpulse Response and Convolution Digital Signal Die Bedeutung der Matrixmultiplikation erwies sich als leicht zu erfassen für die Farbabstimmung. Wir hatten feste Abmessungen von 1 (Anzahl der Testleuchten), 3 (Anzahl der Primärlichter, Anzahl der Photopigmente), Und 31 (Anzahl der Abtastpunkte in einer spektralen Leistungsverteilung für ein Licht oder in der spektralen Absorption für ein Pigment) und es stellte sich heraus, dass einige wichtige Fakten über die Farbsicht als Projektion der höherdimensionalen Spektralvektoren in eine Modellierung modellieren können Niederdimensionalen psychologischen subspace. Es ist auch leicht zu sehen, wie diese Idee funktioniert, wenn sie eine Beziehung zwischen unabhängigen Variablen (wie experimentellen Bedingungen) und abhängigen Variablen (wie Themenreaktionen) modellieren oder wenn sie versuchen, Sätze von multivariaten Messungen (wie Formantenwerte) zu klassifizieren. Aber was bedeutet es, die Verarbeitung von Audio - oder Videosignalen als Matrixmultiplikation zu interpretieren und warum sollten wir einen einfachen Fall betrachten wollen. Der CD-Standard sammelt eine Audio-Wellenform 44.100 Mal pro Sekunde, so dass ein Stück von 2:48 7,408,800 Samples enthält (ignoriert die Stereo-Ausgabe). Angenommen, wir wollen die relative Lautstärke von niedrigen, mittleren und hohen Frequenzen einstellen, um Raumakustik, unser Lautsprechersystem oder unseren persönlichen Geschmack zu kompensieren. Die 7.408.800 Samples sind Elemente eines Vektors, die jede Entzerrungsfunktion (wie auch später zeigen) linear ist, und jede lineare Transformation ist äquivalent zu einer Matrixmultiplikation, so dass wir ihre Wirkung auf einen Kanal unseres Musikstücks als Multiplikation mit einem 7,408,800 durch modellieren können 7,408,800 Matrix Alles, was wir tun müssen, ist, unseren 7,408,800-Element Spaltenvektor durch diese Matrix zu multiplizieren, wodurch ein weiterer Spaltenvektor mit der gleichen Anzahl von Elementen - und dies wird unser ausgeglichenes Bit von Audio sein. Wenn wir auf einer halbstündigen Aufnahme arbeiten wollten, würde der Umfang der Operation proportional steigen. Das scheint nicht wie eine sehr praktische Technik. Es ist begrifflich richtig, und manchmal kann es sinnvoll sein, auf Dinge auf diese Weise nachzudenken. Allerdings ist dies (unnötig zu sagen) nicht, wie eine DSP-Implementierung eines Equalizers erreicht wird. Es gibt viel einfachere Wege, die für Systeme mit bestimmten Eigenschaften mathematisch äquivalent sind, deren Matrizen entsprechende Eigenschaften haben, die eine einfache und effiziente Implementierung der äquivalenten Berechnung ermöglichen. Dieses Thema kann auf einen Slogan reduziert werden: Die Wirkung eines linearen, verschiebungsinvarianten Systems auf ein beliebiges Eingangssignal wird durch Falten des Eingangssignals mit der Reaktion des Systems auf einen Einheitsimpuls erhalten. Um eine Vorstellung davon zu bekommen, was das gut sein könnte, betrachten Sie einige Dinge in der realen Welt, die (oder zumindest erfolgreich modelliert werden können) lineare shift-invariante Systeme: Sobald Sie die Terminologie in diesem Slogan verstehen, wird es fast sein Sofort offensichtlich, dass es so wahr ist, dass in diesem Sinne diese Vorlesung meistens eine Frage des Lernens von Definitionen ist. Wir wissen bereits, was ein lineares System ist. Ein schaltinvariantes System ist eins, bei dem das Verschieben der Eingabe immer die Ausgabe um denselben Betrag verschiebt. Wenn sie Signale durch Vektoren darstellten, dann bedeutet eine Verschiebung eine konstante ganze Zahl, die allen Indizes hinzugefügt wird. Somit erzeugt der Verschiebungsvektor v durch n Abtastwerte einen Vektor w, so daß w (in) v (i) ist. Hinweis: Es gibt ein kleines Problem hier ist entschieden, was an den Rändern passiert. Für eine positive Verschiebung n sollte also das erste Element von w dem minus n-ten Element von v entsprechen, aber v ist nicht für Indizes kleiner als 1 (oder null, wenn wir dort anfangen zu entscheiden) definiert. Theres ein ähnliches Problem am anderen Ende. Die konventionelle DSP-Mathematik löst dieses Problem durch die Behandlung von Signalen als unendlich vielfältig - definiert für alle Indizes von minus unendlich bis unendlich. Real-World-Signale beginnen und stoppen jedoch. Dies ist eine Frage, die auf mehrere Male zurückkehrt, auch einmal am Ende dieser Vorlesung, wann auch in der EEDSP-Perspektive und der linearen Algebra-Perspektive ein etwas formaleres Konto gegeben ist. Für Signale, die Funktionen der Zeit sind - d. h. wo die Folge von Indizes einer Sequenz von Zeitpunkten entspricht - kann ein verschiebungsinvariantes System äquivalent als zeitinvariante System bezeichnet werden. Hier hat die Eigenschaft der Verschiebungsinvarianz eine besonders intuitive Bedeutung. Angenommen, wir analysieren einen akustischen Resonator mit einer bestimmten Eingabe um 12:00 Uhr am 25. Januar 1999 und bekommen eine Antwort (was auch immer es ist), die wir aufzeichnen. Dann nehmen wir das gleiche System wieder mit demselben Eingang, um 12:00 Uhr am 26. Januar 1999. Wir erwarten, dasselbe Ausgangssignal aufzuzeichnen - nur um 24 Stunden vorwärts verschoben. Die gleiche Erwartung würde für eine Zeitdifferenz gelten Eine Stunde oder eine Minute. Schließlich, wenn wir die Eingabe um 1 Millisekunde hypothetisch verzögern, erwarten wir, dass die Ausgabe um den gleichen Betrag verzögert wird - und sonst unverändert zu sein. Der Resonator weiß nicht, wie spät es ist, und reagiert auf die gleiche Weise, unabhängig davon, wann es ist Untersucht Ein Einheitsimpuls (für die gegenwärtigen Zwecke) ist nur ein Vektor, dessen erstes Element 1 ist, und alle anderen Elemente sind 0. (Für die Elektroingenieure digitale Signale von unendlicher Ausdehnung ist der Einheitsimpuls für Index 0 und 0 für alle Andere indizes von minus unendlichkeit bis unendlich). Gut arbeiten bis zu welcher Faltung ist es, indem Sie ein einfaches Beispiel. Heres ein Diagramm von 50 Probe (ca. 6 Millisekunden) einer Sprachwellenform. Wurden diese Wellenform als eine Folge von Zahlen - ein Vektor - dargestellt, und aus dieser Perspektive ist eine geeignetere grafische Darstellung derselben Daten ein Lutscher-Plot, der uns jede Probe als ein kleiner Lutscher zeigt, der von einer Nulllinie auf - oder absteigt : Lasst uns nur die ersten sechs dieser Zahlen vergrößern: Matlab wird uns ihre spezifischen Werte erzählen: Wir können an diesen Sechs-Element-Vektor s als die Summe von sechs anderen Vektoren s1 bis s6 denken. Von denen jeder nur einen seiner Werte trägt, wobei alle anderen Werte Null sind: Erinnern Sie sich, dass ein Impuls (im aktuellen Kontext irgendwie) ein Vektor ist, dessen erstes Element den Wert 1 hat und dessen nachfolgende Elemente null sind. Der Vektor, der mit s1 bezeichnet wird, ist ein Impuls, der mit 10622 multipliziert wird. Der Vektor s2 ist ein Impuls, der um ein Element nach rechts verschoben und um 5624 skaliert ist. So zerlegen wir s in einen Satz skalierter und verschobener Impulse. Es sollte klar sein, dass wir dies zu einem beliebigen Vektor machen können. Die gleiche Zerlegung ist grafisch dargestellt: Warum ist dieses interessante Gut, betrachte ein beliebiges verschiebungsinvariantes lineares System D. Nehmen wir an, dass wir D (ohne etwas darüber zu wissen) auf einen Impuls zu setzen, mit dem Ergebnis unten gezeigt: Die erste Probe der Ausgabe ist 1, die zweite Probe ist -1, und der Rest der Samples ist 0. Dieses Ergebnis Ist die Impulsantwort von D. Das ist genug, um das Ergebnis der Anwendung von D auf unsere skalierten und verschobenen Impulse vorzustellen, s 1. s n. Weil D verschiebungsinvariant ist. Der Effekt der Verschiebung der Eingabe ist nur, um die Ausgabe um den gleichen Betrag zu verschieben. Somit erzeugt ein Eingang, der aus einem Einheitsimpuls besteht, der um einen beliebigen Betrag verschoben wird, eine Kopie der Impulsantwort. Verschoben von der gleichen Menge. Wir wissen auch, dass D linear ist. Und daher wird ein skalierter Impuls als Eingang eine skalierte Kopie der Impulsantwort als Ausgangssignal erzeugen. Mit diesen beiden Tatsachen können wir die Antwort von D auf jeden der skalierten und verschobenen Impulse s 1. s n vorhersagen. Dies ist grafisch dargestellt: Wenn wir die Antworten auf s1 anordnen. S6 als die Zeilen der Matrix, die tatsächlichen Zahlen werden wie folgt aussehen: (Die Anordnung dieser Ausgänge als die Zeilen einer Matrix ist rein für typografische Bequemlichkeit auch bemerken, dass wir die Antwort auf Eingang s6 vom Ende der Welt fallen lassen Sozusagen) Diese Information reicht aus, um die Antwort des Systems D auf den ursprünglichen Vektor s vorhersagen zu lassen. Die (durch Konstruktion) nur die Summe von s1 s2 s3 s4 s5 s6 ist. Da D linear ist, ist die Anwendung auf diese Summe gleich wie die Anwendung auf die einzelnen Komponenten der Summe und die Addition der Ergebnisse. Dies ist nur die Summe der Spalten der oben dargestellten Matrix: (Matlab-Summe, die auf eine Matrix angewendet wird, erzeugt einen Zeilenvektor der Summen der Spalten.) Beachten Sie, dass (zumindest für die zweite Position in der Summe und weiter) Dies macht den Ausgang in der Position i gleich der Differenz zwischen dem Eingang in der Position i und dem Eingang in der Position i-1. Mit anderen Worten, D zufolge berechnet man die erste Differenz seiner Eingabe. Es sollte klar sein, dass die gleiche grundlegende Prozedur für jedes verschiebungsinvariante lineare System funktioniert und für jede Eingabe in ein solches System: Ausdruck der Eingabe als Summe von skalierten und verschobenen Impulsen berechnen die Antwort auf jede von ihnen durch Skalierung und Verschiebung Die Systemimpulsantwort addieren den resultierenden Satz von skalierten und verschobenen Impulsantworten. Dieser Vorgang des Aufbaus eines Satzes von skalierten und verschobenen Kopien eines Vektors (hier die Impulsantwort), wobei die Werte eines anderen Vektors (hier die Eingabe) als Skalierungswerte verwendet werden, ist Faltung - zumindest ist dies eine Möglichkeit zu definieren es. Ein anderer Weg: Die Faltung von zwei Vektoren a und b ist als Vektor c definiert. Dessen kth-Element (in MATLAB-ish-Terme) (Die 1 in k1-j ist aufgrund der Tatsache, dass MATLAB-Indizes den schlechten Geschmack haben, um von 1 anstatt der mathematisch eleganter zu beginnen 0). Diese Formulierung hilft, dass wir auch an die Faltung denken können, als ein Vorgang, einen laufenden gewichteten Durchschnitt einer Sequenz zu nehmen - das heißt, jedes Element des Ausgangsvektors ist eine lineare Kombination von einigen der Elemente eines der Eingangsvektoren - - wo die Gewichte aus dem anderen Eingangsvektor entnommen werden. Es gibt ein paar kleine Probleme: wie lange sollte c sein und was sollen wir tun, wenn k 1- j negativ oder größer ist als die Länge von b. Diese Probleme sind eine Version der Randeffekte, die schon angedeutet wurden, und werden wieder sehen. Eine mögliche Lösung ist, sich vorzustellen, dass wir zwei unendliche Sequenzen, die durch Einbettung von a und b in einen Ozean von Nullen entstehen, Jetzt willkürliche Indexwerte - negative, diejenigen, die zu groß schienen - machen einen perfekten Sinn. Der Wert der erweiterten a und erweiterten b für Indexwerte außerhalb ihres tatsächlichen Bereichs ist nun vollkommen gut definiert: immer null. Das Ergebnis von Gleichung 1 ist eine weitere unendlich lange Sequenz c. Ein kleiner Gedanke wird Sie davon überzeugen, dass die meisten von c auch zwangsläufig null sein werden, da die Nicht-Null-Gewichte aus b und die Nicht-Null-Elemente eines nicht in diesen Fällen zusammenfallen. Wie viele Elemente von c haben eine Chance, nicht null zu sein Nun, nur jene ganzen Zahlen k, für die es mindestens eine ganze Zahl j gibt, so dass 1 lt l lt Länge (a) und 1 lt k1-j lt Länge (b). Mit ein wenig mehr Gedanken, können Sie sehen, dass dies bedeutet, dass die Länge von c wird ein kleiner als die Summe der Längen von a und b. Wenn wir uns wieder auf Gleichung 1 beziehen und die beiden Vektoren a und b als eingebettet in ihre Seen von Nullen vorstellen, können wir sehen, dass wir die richtige Antwort bekommen werden, wenn wir k von 1 bis Länge (a) Länge (b) - 1 und für jeden Wert von k. Erlaube j von max (1, k 1-Länge (b)) bis min (k, Länge (a)) laufen. Auch hier ist alles in MATLAB-Indexbegriffen, und so können wir es direkt auf ein MATLAB-Programm myconv () übertragen, um eine Faltung durchzuführen: Das gibt uns nur das Stück des begrifflich unendlichen c, das eine Chance hat, ungleich Null zu sein . MATLAB hat eine eingebaute Faltungsfunktion conv (), also können wir die vergleichen, die wir gerade geschrieben haben: Abgesehen davon sollten wir erwähnen, dass die Faltung auch uns die richtigen Ergebnisse geben wird, wenn wir an a, b und c denken Koeffizienten von Polynomen, wobei c die Koeffizienten des Polynoms sind, die sich aus der Multiplikation von a und b zusammen ergeben. Somit ist die Faltung zur polynomialen Multiplikation isomorph, so daß z. B. Kann auch so interpretiert werden, dass (2x 3) (4x 5) 8x2 22x 15 und kann auch so interpretiert werden, dass (3x 4) (5x2 6x 7) 15x3 38x2 45x 28 Wenn Sie dies glauben, folgt es sofort aus der Kommutativität Der Multiplikation, dass die Faltung auch pendelt (und assoziativ ist und über die Addition verteilt). Wir können diese Eigenschaften empirisch veranschaulichen: Das sind wichtige Punkte, also wenn Sie nicht sofort sehen, dass sie immer wahr sind, verbringen Sie etwas Zeit mit Gleichung 1 - oder mit dem Faltungsoperator in Matlab - und überzeugen Sie sich selbst. Weve gegeben zwei Bilder von conv (a, b): in einem, addieren wir eine Reihe von skalierten und verschobenen Kopien von a, jede Kopie skaliert um einen Wert von b, und verschoben, um mit der Position dieses Wertes in b auszurichten . In der anderen, verwenden wir einen laufenden gewichteten Durchschnitt von a, wobei b (rückwärts) als die Gewichte. Wir können die Beziehung zwischen diesen beiden Bildern sehen, indem wir Gleichung 1 in Matrixform ausdrücken. Wir haben an b als die Impulsantwort des Systems gedacht, a als Eingang und c als Ausgabe. Dies bedeutet, dass die Matrix für S die Dimensionslänge (c) nach der Länge (a) haben wird, wenn c S a juristisch ist. Jedes Element der Ausgabe c ist das innere Produkt einer Reihe von S mit dem Eingang a. Dies ist genau Gleichung 1, wenn die Zeile von S in Frage ist nur b. Zeitlich umgekehrt, verschoben und in geeigneter Weise mit Nullen gefüllt. Wenn wir uns aus dem Bild verschieben, verschieben wir nur in Nullen aus dem Meer von Nullen, die wir uns vorstellen, in ein einziges zu schweben. Eine kleine Modifikation unseres Faltungsprogramms wird die benötigte Matrix erzeugen: So erzeugt cmat (a, b) einen Matrixoperator C, die mit dem Vektor a multipliziert werden können, um genau die gleiche Wirkung wie die Faltung von a mit b zu erzeugen: Das funktioniert, weil die Zeilen von C in geeigneter Weise verschoben (rückwärts laufende) Kopien von b - oder äquivalent sind, weil die Spalten von C Sind in geeigneter Weise verschoben (vorwärts laufende) Kopien von b. Das gibt uns die beiden Bilder von Faltungsoperatoren: DAS LAUFEN GEWICHTETE DURCHSCHNITT DES EINGANGS: Die Reihen von C sind rückwärts kopiert von b. Und das innere Produkt jeder Reihe mit einem Wille gibt uns einen gewichteten Durchschnitt eines geeigneten Stückes von a. Die wir an der entsprechenden Stelle im Ausgang c halten. DIE SUMME VON VERSCHLOSSENEN UND UMSETZTEN KOPIEN DER IMPULSEN ANTWORT: Die Spalten von C sind verschobene Kopien von b. Die andere Ansicht der Matrixmultiplikation zu nehmen, nämlich dass die Ausgabe die Summe der Spalten von C ist, die durch die Elemente von a gewichtet werden. Gibt uns das andere Bild der Faltung, nämlich das Hinzufügen eines Satzes von skalierten und verschobenen Kopien der Impulsantwort b. Ein größeres Beispiel: Bei der Arbeit durch die Details der Faltung mussten wir mit dem Randeffekt umgehen: die Tatsache, dass die Faltungsgleichung (Gleichung 1) Indexwerte für endliche Längeneingaben a und b außerhalb des Bereichs, in dem sie definiert sind, impliziert . Offensichtlich könnten wir eine ganze Reihe von verschiedenen Möglichkeiten wählen, um die fehlenden Werte zu liefern - die besondere Wahl, die wir machen, sollte davon abhängen, was wir tun. Es gibt einige Fälle, in denen das Meer des Nullen-Konzeptes genau richtig ist. Allerdings gibt es alternative Situationen, in denen andere Ideen sinnvoller sind. Zum Beispiel könnten wir an b denken, als in einem Meer von unendlich vielen wiederholten Exemplaren von sich selbst zu sitzen. Da dies bedeutet, dass die Indexwerte von dem Ende von b abwischen, um das andere Ende in einer modularen Weise umzukehren, so als ob b auf einem Kreis war, wird die Art der Faltung, die resultiert, als kreisförmige Faltung bezeichnet. Denken Sie daran: Wir werden in einer späteren Vorlesung darauf zurückkommen. Mittlerweile wiederholen wir den Slogan, mit dem wir begonnen haben: Die Wirkung eines linearen, verschiebungsinvarianten Systems auf ein beliebiges Eingangssignal wird durch Falten des Eingangssignals mit der Reaktion des Systems auf einen Einheitsimpuls erhalten. (Beachten Sie, dass dies die gleiche Eigenschaft von linearen Systemen ist, die wir bei der Farbabstimmung beobachteten - wo wir alles lernen konnten, was wir über das System wissen mussten, indem wir es mit einem begrenzten Satz monochromatischer Eingaben untersuchten Linear und nicht verschiebungsinvariant wäre die Analogie hier, um sie mit Einheitsimpulsen bei jedem möglichen Indexwert zu untersuchen - jede solche Sonde gibt uns eine Spalte der Systemmatrix. Das war praktisch mit einem 31-Element-Vektor, aber es Wäre weniger attraktiv mit Vektoren von Millionen oder Milliarden von Elementen Wenn jedoch das System auch verschiebungsinvariant ist, reicht eine Sonde mit nur einem Impuls aus, da die Antworten aller verschobenen Fälle daraus vorhergesagt werden können.) Faltung kann immer Als Matrixmultiplikation gesehen werden - das muss wahr sein, denn ein System, das durch Faltung umgesetzt werden kann, ist ein lineares System (sowie Shift-Invariante). Shift-Invarianz bedeutet, dass die Systemmatrix jedoch bestimmte Redundanzen aufweist. Wenn die Impulsantwort von endlicher Dauer ist, ist dieser Slogan nicht nur mathematisch wahr, sondern ist auch oft eine praktische Möglichkeit, das System zu implementieren, weil wir die Faltung in einer festen Anzahl von Multiplikations-Adds pro Eingabe-Sample implementieren können (genau wie Viele, da es keine Nullwerte in der Systemimpulsantwort gibt). Systeme dieser Art werden im allgemeinen als Finite-Impulse-Response - (FIR-) Filter oder äquivalent gleitende Mittelfilter bezeichnet. Wenn die Impulsantwort von unendlicher Dauer ist (da es sich gut in einem linearen verschiebungsinvarianten System befinden kann), dann bleibt dieser Slogan mathematisch wahr, ist aber von weniger praktischem Wert (es sei denn, die Impulsantwort kann ohne signifikanten Effekt abgeschnitten werden). Nun lernen später, wie man unendliche Impulsantwort (IIR) Filter effizient implementiert. Die EEDSP-Perspektive Das Ziel dieses Abschnitts ist es, das Grundmaterial über Impulsantwort und Faltung in dem Stil zu entwickeln, der in der digitalen Signalverarbeitungsliteratur in der Disziplin der Elektrotechnik üblich ist, um Ihnen zu helfen, sich mit der Art der Notation vertraut zu machen, die Sie sind Wahrscheinlich dort zu begegnen. Auch vielleicht über die gleichen Ideen wieder in einer anderen Notation wird Ihnen helfen, thm zu assimilieren - aber seien Sie vorsichtig, um die DSPEE Notation getrennt in Ihrem Kopf von linearen Algebra Notation, oder Sie werden sehr verwirrt In dieser Perspektive behandeln wir Ein digitales Signal s als unendlich lange Folge von Zahlen. Wir können die mathematische Fiktion der Unendlichkeit an die alltägliche endliche Realität anpassen, indem wir annehmen, dass alle Signalwerte außerhalb einer endlichen Längenuntersequenz liegen. Die Positionen in einer dieser unendlich langen Sequenzen von Zahlen werden durch ganze Zahlen indiziert, so daß wir s (n) die n-te Zahl in der Folge s nennen, die gewöhnlich n von n genannt wird. Manchmal werden wir alternativ s (n) verwenden, um sich auf die gesamte Sequenz zu beziehen. Indem man an n als freie Variable denkt. Wir lassen einen Index wie n Bereich über negative sowie positive ganze Zahlen und auch Null. Wo also die geschweiften Klammern eine Notationsbedeutung sind, so dass der ganze Ausdruck die Menge der Zahlen s (n) bedeutet, wobei n alle Werte von minus Unendlichkeit bis unendlich annimmt. Wir beziehen uns auf die einzelnen Zahlen in einer Sequenz s als Elemente oder Proben. Das Wortbeispiel stammt aus der Tatsache, dass wir gewöhnlich an diese Sequenzen als diskret abgetastete Versionen von stetigen Funktionen denken, wie das Ergebnis der Abtastung einer akustischen Wellenform, eine endliche Anzahl von Malen pro Sekunde, aber in Wirklichkeit nichts, was in diesem Abschnitt dargestellt wird Hängt davon ab, dass eine Sequenz etwas anderes ist als ein geordneter Satz von Zahlen. Die Einheitsimpuls - oder Einheitsprobenfolge. Geschrieben, ist eine Sequenz, die eine am Stichprobenpunkt Null ist, und null überall sonst: Die griechische Hauptstadt Sigma,, ausgeprägte Summe. Wird als Notation für das Hinzufügen eines Satzes von Zahlen verwendet, in der Regel durch einige Variable nehmen auf einem bestimmten Satz von Werten. So ist die Abkürzung für die Abkürzung für die Notation ist besonders hilfreich bei der Behandlung von Summen über Sequenzen. Im Sinne der Sequenz, die in diesem Abschnitt verwendet wird, wie im folgenden einfachen Beispiel. Die Einheit Schrittfolge. Geschrieben u (n), ist eine Sequenz, die bei allen Abtastpunkten kleiner als Null ist, und 1 an allen Abtastpunkten größer oder gleich Null: Die Einheitsschrittfolge kann auch als kumulative Summe des Einheitsimpulses erhalten werden: Bis zu n -1 ist die Summe 0, da alle Werte von für negativ n 0 bei n 0 sind, springt die kumulative Summe auf 1, da und die kumulative Summe bei 1 für alle Werte von n größer als folgt bleibt. Da alle übrigen Werte von 0 wieder sind. Dies ist nicht besonders beeindruckend von der Notation, aber es sollte Ihnen helfen zu verstehen, dass es vollkommen vernünftig sein kann, über unendliche Summen zu sprechen. Beachten Sie, dass wir auch die Beziehung zwischen u (n) und in der anderen Richtung ausdrücken können: Im Allgemeinen ist es sinnvoll, über die Anwendung der gewöhnlichen Operationen der Arithmetik auf Sequenzen zu sprechen. So können wir das Produkt der Sequenzen x und y als xy schreiben. Dh die Sequenz aus den Produkten der entsprechenden Elemente (nicht das innere Produkt): Ebenso kann die Summe der Sequenzen x und y x y geschrieben werden. Bedeutung Eine Sequenz x kann mit einem Skalar multipliziert werden, mit der Bedeutung, dass jedes Element von x einzeln so multipliziert wird: Schließlich kann eine Sequenz durch irgendeine ganzzahlige Anzahl von Stichprobenpunkten verschoben werden: Wir haben diese Notation bereits verwendet, als wir den Einheitsimpuls ausgedrückt haben Sequenz in Bezug auf die Einheitsschrittsequenz, als die Differenz zwischen einer gegebenen Probe und der unmittelbar vorherigen Probe. Jede Sequenz kann als Summe von skalierten und verschobenen Einheitsproben ausgedrückt werden. Konzeptionell ist das trivial: Wir machen für jede Probe der ursprünglichen Sequenz nur eine neue Sequenz, deren einziges Nicht-Null-Mitglied die gewählte Probe ist, und wir addieren alle diese Einzelprobenfolgen, um die ursprüngliche Sequenz zu bilden. Jede dieser Single-Sample-Sequenzen (wirklich jede Sequenz enthält unendlich viele Samples, aber nur einer von ihnen ist ungleich Null) kann wiederum als ein Einheitsimpuls (eine Stichprobe von Wert 1, der sich am Punkt befindet) dargestellt werden Wert und verschoben an die entsprechende Stelle. In mathematischer Sprache ist hier eine Variable, die jede der ursprünglichen Samples ausgibt, ihren Wert verwendet, um den Einheitsimpuls zu skalieren, und verschiebt dann das Ergebnis in die Position des ausgewählten Samples. Ein System oder eine Transformation T bildet eine Eingangsfolge x (n) auf eine Ausgabesequenz y (n): 1. Motivationsbeispiel Wenn Sie die aktuelle Quartal8217s Inflationsrate rückgängig machen, erhalten Sie im Vorquartal8217 die Daten von FRED über den Zeitraum von Q3-1987 bis Q4-2014, dann erhalten Sie die AR (1) Punktschätzung, wobei die Zahl in Klammern angibt Der Standardfehler und die Inflationsrate Zeitreihe, wurde erniedrigt. Mit anderen Worten, wenn die Inflationsrate im Q1-2015 höher ist, dann wird sie im Durchschnitt im Q2-2015 deutlich höher sein, im Q3-2015 höher, und so weiter8230 Die Funktion, die die Kaskade der zukünftigen Inflationsrate beschreibt Änderungen aufgrund eines unerwarteten Schocks in der Periode ist als Impulsantwortfunktion bekannt. Aber viele interessante Zeitreihenphänomene beinhalten mehrere Variablen. Zum Beispiel zeigen Brunnermeier und Julliard (2008), dass der Hauspreis die Rate schätzt, umgekehrt mit der Inflationsrate zusammenhängt. Wenn Sie die aktuellen Quartal8217s Inflation und Hauspreis Anerkennungsraten auf dem Vorquartal8217s Raten mit demeaned Daten aus dem Case-ShillerS038P Index. Dann erhalten Sie: Diese Punktschätzungen deuten darauf hin, dass, wenn die Inflationsrate im Q1-2015 höher war, die Inflationsrate im Q2-2015 höher sein würde und die Hauspreiserhöhungsrate im Q2-2015 niedriger ausfallen würde. Die Berechnung der Impulsantwortfunktion für diese Vektor-Auto-Regression (VAR) ist schwieriger als die Berechnung der gleichen Funktion für die Inflationsrate AR (1), da die Inflationsrate und die Hauspreiserhöhungsratenschocks korreliert sind: Mit anderen Worten, Wenn Sie einen Punktschock zur Inflation sehen, neigen Sie auch dazu, einen Punktschock für die Hauspreis-Anerkennungsrate zu sehen. So gibt die Berechnung der zukünftigen Auswirkungen eines Schocks auf die Inflationsrate und ein Punktschock auf die Hauspreis-Anerkennungsrate gibt Ihnen Informationen über einen Einheitsschock, der in der realen Welt nicht passiert. In diesem Beitrag zeige ich, wie man diese Art von Korrelation bei der Berechnung der Impulsantwortfunktion für VARs berücksichtigt. Hier ist der entsprechende Code. 2. Impulsantwort-Funktion Vor dem Studium der VARs definieren let8217s zunächst die Impulsantwortfunktion in der Skalarwelt. Angenommen, wir haben einige Daten, die von einem AR (1) erzeugt werden, wo, und. Zum Beispiel, wenn wir die vierteljährlichen Inflationsdaten betrachten, dann. In diesem Setup, was würde passieren, wenn es einen plötzlichen Schock in Periode gab Wie würden wir erwarten, dass das Niveau der Veränderung Was ist mit dem Niveau von Oder, das Niveau von beliebigen für Wie würde ein Punkt Schock auf die aktuelle Inflationsrate propagieren in Zukünftige Quartiere Nun, es ist einfach, die Zeit Erwartung von: Iterating auf dieser gleichen Strategie dann gibt die Zeit Erwartung von: Also, im Allgemeinen wird die Zeit Erwartung einer Zukunft wird durch die Formel gegeben werden, und die Impuls-Antwort-Funktion für Der AR (1) Prozess wird sein: Wenn Sie wüssten, dass es einen plötzlichen Schock von Größe gab, dann würde sich Ihre Erwartung um den Betrag ändern. Die folgende Abbildung zeigt die Impulsantwortfunktion zur Verwendung der AR (1) Punktschätzung nach Gleichung (1). Es gibt eine andere, etwas andere Art und Weise, wie man an eine Impulsantwortfunktion denken könnte, als die Koeffizienten der gleitenden Durchschnittdarstellung der Zeitreihen. Betrachten Sie das Umschreiben des Datenerzeugungsprozesses unter Verwendung von Lagoperatoren, wo und so weiter8230 Immer wenn der Steigungskoeffizient kleiner ist als, wissen wir das, und es gibt eine gleitende Mitteldarstellung von: Das heißt, anstatt jedes als eine Funktion zu schreiben Ein verzögerter Wert, und ein gleichzeitiger Schock, können wir stattdessen jeweils einen gewichteten Durchschnitt aller vergangenen Schocks darstellen, die mit einigen jüngeren Schocks stärker gewichtet wurden. Wenn wir alle Schocks normalisieren, um eine Einheitsabweichung zu haben, dann werden die Gewichte selbst durch die Impulsantwortfunktion gegeben: Natürlich ist das genau das, was du für einen Kovarianz-stationären Prozess erwartet hast. Die Auswirkungen der bisherigen Schocks auf den aktuellen realisierten Wert dürften besser sein wie die Auswirkungen der aktuellen Schocks auf zukünftige Werte. 3. Von ARs zu VARs We8217ve gerade gesehen, wie man die Impulsantwortfunktion für einen AR (1) Prozess berechnet. Let8217s untersuchen nun, wie man diese Einstellung erweitert, wo es zwei Zeitreihen gibt, anstatt nur. Dieses Paar von Gleichungen kann in Matrixform wie folgt geschrieben werden, wo und. Zum Beispiel, wenn man als vierteljährliche Inflationsrate und als vierteljährliche Hauspreis-Anerkennungsrate nachdenkt, dann ist die Koeffizientenmatrix in Gleichung (2) gegeben. Nichts über die Konstruktion der gleitenden Durchschnittdarstellung des Geforderten, die ein Skalar ist, so können wir genau die gleichen Tricks verwenden, um den - dimensionalen Vektor als gleitenden Durchschnitt zu schreiben: Aber es ist viel weniger klar in dieser vektorwertigen Einstellung, wie wir es sind Erholen Sie die Impulsantwortfunktion aus der gleitenden Mitteldarstellung. Setzen Sie anders, what8217s das Matrix-Analog von Let8217s wenden den gewünschten Operator an. Diese Geheimnismatrix, die sie nennen, muss zwei verschiedene Eigenschaften haben. Zuerst musste es den Vektor der Schocks wieder in das, was eine Einheitsnorm hat, in der gleichen Weise, wie in der obigen Analyse. Das ist der Grund, warum ich die Mystery-Matrix nicht mehr als nur schreibe. Zweitens muss die Matrix für die Tatsache verantwortlich sein, dass die Schocks und, korreliert sind, so dass Punktschocks zur Inflationsrate immer von Punktschocks zur Hauspreiserhöhungsrate begleitet werden. Weil die Schocks zu jeder Variablen unterschiedliche Standardabweichungen haben könnten, zum Beispiel, während die Auswirkung eines Schocks auf die Inflationsrate auf die Hauspreis-Aufwertungsrate, anders sein wird als die Wirkung eines Schocks auf die Hauspreis-Aufwertung Rate auf die Inflationsrate,. Somit hat jede Variable im Vektor eine eigene Impulsantwortfunktion. Deshalb schreibe ich stattdessen die Geheimnismatrix. Es stellt sich heraus, dass, wenn wir wählen, um die Cholesky Zerlegung von, dann haben beide Eigenschaften, die wir wollen, wie in Sims (1980). Der einfache - dimensionale Fall ist wirklich nützlich für das Verständnis warum. Zunächst schreibt let8217s die Varianz-Kovarianz-Matrix der Schocks, wie folgt, wo. Die Cholesky-Zerlegung von kann dann von Hand gelöst werden: Da wir nur mit einer - dimensionalen Matrix arbeiten, können wir auch von Hand lösen: So, zum Beispiel, wenn es ein Paar Schocks gibt, dann wird dieser Schock in: Mit anderen Worten, die Matrix rescales, um Einheitsnorm zu haben, und dreht den Vektor, um die Korrelation zwischen und zu berücksichtigen. Um zu schätzen, wie die Rotation die positive Korrelation berücksichtigt und bemerkt, dass die Matrix den Schock zu einem Vektor macht, der eine Standardabweichung in Richtung und in Richtung zeigt. Das heißt, angesichts der Tatsache, dass Sie einen positiven Schock beobachtet haben, wäre ein Schock ein überraschend geringes Ergebnis. Wenn wir in unsere gleitende Mitteldarstellung einsteigen, dann erhalten wir den Ausdruck unten, was bedeutet, dass die Impulsantwortfunktion für gegeben ist: Die folgende Abbildung zeigt die Impulsantwortfunktion für beide und impliziert durch einen Einheitsschock zur Verwendung der coefficient matrix from Equation (2 ). Post navigationFIR filters, IIR filters, and the linear constant-coefficient difference equation Causal Moving Average (FIR) Filters Weve discussed systems in which each sample of the output is a weighted sum of (certain of the) the samples of the input. Nehmen wir ein kausal gewichtetes Summensystem, wobei Kausal bedeutet, dass eine gegebene Ausgabeprobe nur von der aktuellen Eingangsabtastung und anderen Eingaben früher in der Sequenz abhängt. Weder lineare Systeme im Allgemeinen noch endliche Impulsantwortsysteme müssen kausal sein. Allerdings ist die Kausalität für eine Art von Analyse bequem, die sich bald erkundigen würde. Wenn wir die Eingaben als Werte eines Vektors x symbolisieren. Und die Ausgänge als entsprechende Werte eines Vektors y. Dann kann ein solches System geschrieben werden, wo die b-Werte auf die aktuellen und früheren Eingangsmuster angewendet werden, um die aktuelle Ausgabeprobe zu erhalten. Wir können an den Ausdruck als Gleichung denken, mit dem Gleichheitszeichen Bedeutung gleich oder als prozedurale Anweisung, mit dem Gleichheitszeichen Bedeutung Zuweisung. Er läßt den Ausdruck für jeden Ausgangssample als MATLAB-Schleife von Zuweisungsanweisungen schreiben, wobei x ein N-Längenvektor von Eingangsabtastwerten ist und b ein M-Längenvektor von Gewichten ist. Um mit dem Sonderfall am Anfang umzugehen, werden wir x in einen längeren Vektor einfügen, dessen erste M-1-Abtastwerte null sind. Wir schreiben die gewichtete Summe für jedes y (n) als ein inneres Produkt und werden einige Manipulationen der Eingaben (wie Umkehrung b) zu diesem Zweck durchführen. Diese Art von System wird oft als gleitender Durchschnittsfilter bezeichnet, aus offensichtlichen Gründen. Aus unseren früheren Diskussionen sollte klar sein, dass ein solches System linear und verschiebungsinvariant ist. Natürlich wäre es viel schneller, die MATLAB-Faltungsfunktion conv () anstelle unseres mafilt () zu verwenden. Anstatt die ersten M-1-Abtastwerte der Eingabe als Null zu betrachten, könnten wir sie als die gleichen M-1-Samples ansehen. Dies ist das gleiche wie die Behandlung der Eingabe als periodisch. Nun benutze cmafilt () als den Namen der Funktion, eine kleine Modifikation der früheren mafilt () - Funktion. Bei der Bestimmung der Impulsantwort eines Systems gibt es gewöhnlich keinen Unterschied zwischen diesen beiden, da alle nicht initialen Samples der Eingabe null sind: Da ein solches System linear und verschiebungsinvariant ist, wissen wir, dass seine Wirkung auf irgendwelche Sinusoid wird nur skalieren und verschieben Hier ist es wichtig, dass wir die kreisförmige Version verwenden. Die kreisförmig gefaltete Version wird verschoben und skaliert, während die Version mit normaler Faltung am Anfang verzerrt ist. Lets sehen, was die genaue Skalierung und Verschiebung ist durch die Verwendung einer fft: Sowohl Eingang und Ausgang haben Amplitude nur bei Frequenzen 1 und -1, die so ist, wie es sein sollte, da die Eingabe war eine Sinusoid und das System war linear. Die Ausgangswerte sind um ein Verhältnis von 10.62518 1.3281 größer. Das ist der Gewinn des Systems. Was ist mit der Phase Wir müssen nur sehen, wo die Amplitude ungleich Null ist: Die Eingabe hat eine Phase von pi2, wie wir angefordert haben. Die Ausgangsphase wird um ein zusätzliches 1.0594 (mit entgegengesetztem Vorzeichen für die negative Frequenz) oder etwa 16 eines Zyklus nach rechts verschoben, wie wir auf dem Diagramm sehen können. Nun können wir eine Sinuskurve mit der gleichen Frequenz (1) ausprobieren, aber anstelle von Amplitude 1 und Phase pi2 können wir Amplitude 1.5 und Phase 0 ausprobieren. Wir wissen, dass nur die Frequenz 1 und -1 keine Amplitude von Null haben Bei ihnen: Wieder ist das Amplitudenverhältnis (15.937712.0000) 1.3281 - und für die Phase wird es wieder um 1.0594 verschoben. Wenn diese Beispiele typisch sind, können wir die Wirkung unseres Systems vorhersagen (Impulsantwort .1 .2 .3 .4 .5) bei jedem Sinus mit Frequenz 1 - wird die Amplitude um einen Faktor von 1.3281 erhöht und die (positive Frequenz) Phase wird um 1.0594 verschoben. Wir konnten die Wirkung dieses Systems auf Sinusoiden anderer Frequenzen nach denselben Methoden berechnen. Aber es gibt einen viel einfacheren Weg, und einer, der den allgemeinen Punkt festlegt. Da (kreisförmige) Faltung im Zeitbereich eine Multiplikation im Frequenzbereich bedeutet, folgt daraus, dass mit anderen Worten die DFT der Impulsantwort das Verhältnis der DFT des Ausgangssignals zur DFT des Eingangs ist. In dieser Beziehung sind die DFT-Koeffizienten komplexe Zahlen. Da abs (c1c2) abs (c1) abs (c2) für alle komplexen Zahlen c1, c2 ist, sagt diese Gleichung, dass das Amplitudenspektrum der Impulsantwort immer das Verhältnis des Amplitudenspektrums des Ausganges zu dem des Eingangs ist . Im Fall des Phasenspektrums gilt der Winkel (c1c2) - Winkel (c1) - Winkel (c2) für alle c1, c2 (mit der Maßgabe, dass Phasen, die sich durch n2pi unterscheiden, als gleich angesehen werden). Daher ist das Phasenspektrum der Impulsantwort immer die Differenz zwischen den Phasenspektren des Ausgangssignals und dem Eingang (mit welchen Korrekturen um 2pi erforderlich sind, um das Ergebnis zwischen - pi und pi zu halten). Wir können die Phaseneffekte deutlicher sehen, wenn wir die Darstellung der Phase auspacken, d. h. wenn wir verschiedene Vielfache von 2pi addieren, um die Sprünge zu minimieren, die durch die periodische Natur der angle () - Funktion erzeugt werden. Obwohl die Amplitude und die Phase gewöhnlich für die grafische und sogar tabellarische Darstellung verwendet werden, da sie eine intuitive Möglichkeit sind, über die Auswirkungen eines Systems auf die verschiedenen Frequenzkomponenten ihrer Eingabe nachzudenken, sind die komplexen Fourierkoeffizienten algebraisch nützlicher, da sie es erlauben Der einfache Ausdruck der Beziehung Der allgemeine Ansatz, den wir soeben gesehen haben, wird mit beliebigen Filtern des skizzierten Typs arbeiten, bei dem jede Ausgabeprobe eine gewichtete Summe von einigen Satz von Eingabeproben ist. Wie bereits erwähnt, werden diese oft als Finite Impulse Response Filter bezeichnet, da die Impulsantwort von endlicher Größe oder manchmal Moving Average Filter ist. Wir können die Frequenzgangcharakteristiken eines solchen Filters aus der FFT seiner Impulsantwort bestimmen, und wir können auch neue Filter mit gewünschten Eigenschaften durch IFFT aus einer Spezifikation des Frequenzganges entwerfen. Autoregressive (IIR) Filter Es wäre wenig sinnvoll, Namen für FIR-Filter zu haben, es sei denn, es gab irgendeine andere Art, um sie zu unterscheiden, und so werden diejenigen, die Pragmatik studiert haben, nicht überrascht sein zu erfahren, dass es tatsächlich eine andere Hauptart gibt Des linearen zeitinvarianten Filters. Diese Filter werden manchmal rekursiv genannt, da der Wert der vorherigen Ausgänge (sowie vorherige Eingaben) wichtig ist, obwohl die Algorithmen im allgemeinen mit iterativen Konstrukten geschrieben werden. Sie werden auch Infinite Impulse Response (IIR) Filter genannt, weil im Allgemeinen ihre Reaktion auf einen Impuls für immer weiter geht. Sie werden auch manchmal autoregressive Filter genannt, weil man die Koeffizienten als das Ergebnis der linearen Regression zum Ausdruck bringen kann, um Signalwerte als Funktion früherer Signalwerte auszudrücken. Die Beziehung von FIR - und IIR-Filtern kann deutlich in einer linearen Konstantkoeffizienten-Differenzgleichung gesehen werden, d. h. eine gewichtete Summe von Ausgängen, die gleich einer gewichteten Summe von Eingängen ist, einstellen. Dies ist wie die Gleichung, die wir früher für den kausalen FIR-Filter gegeben haben, außer dass zusätzlich zu der gewichteten Summe der Eingänge auch eine gewichtete Summe der Ausgänge vorliegt. Wenn wir dies als eine Prozedur zur Erzeugung von Ausgangsmustern bedenken wollen, müssen wir die Gleichung neu anordnen, um einen Ausdruck für die aktuelle Ausgabeprobe y (n) zu erhalten. Annahme der Konvention, dass a (1) 1 (zB durch Skalierung anderer als Und bs) können wir den 1a (1) Term beenden: y (n) b (1) x (n) b (2) x (n-1). B (Nb1) x (n-nb) - a (2) y (n-1) -. - a (Na1) y (n-na) Wenn alle a (n) andere als a (1) null sind, reduziert dies auf unseren alten Freund den kausalen FIR-Filter. Dies ist der allgemeine Fall eines (kausalen) LTI-Filters und wird durch den MATLAB-Funktionsfilter implementiert. Betrachten wir den Fall, bei dem die b-Koeffizienten außer b (1) null sind (anstelle des FIR-Falles, wobei a (n) null sind): In diesem Fall wird der aktuelle Ausgangsabtastwert y (n) als a berechnet (N-1), y (n-2) usw. Um eine Vorstellung davon zu bekommen, was mit solchen Filtern passiert, kann man mit dem Fall beginnen, wo: Das heißt, die aktuelle Ausgangsabtastung ist die Summe der aktuellen Eingangsabtastung und der Hälfte der vorherigen Ausgangsabtastung. Nun nehmen Sie einen Eingangsimpuls durch ein paar Zeitschritte, eine zu einer Zeit. Es sollte an dieser Stelle klar sein, dass wir einfach einen Ausdruck für den n-ten Ausgangssamplewert schreiben können: Es ist nur (Wenn MATLAB von 0 gezählt wird, wäre dies einfach .5n). Da das, was wir berechnen, die Impulsantwort des Systems ist, haben wir beispielhaft gezeigt, dass die Impulsantwort tatsächlich unendlich viele Proben ohne Null haben kann. Um diesen trivialen Filter erster Ordnung in MATLAB zu implementieren, könnten wir Filter verwenden. Der Aufruf wird so aussehen: und das Ergebnis ist: Ist das Geschäft wirklich noch linear Wir können das empirisch betrachten: Für einen allgemeineren Ansatz betrachten wir den Wert eines Ausgangsmusters y (n). Durch sukzessive Substitution können wir dies schreiben wie dies ist wie unser alter Freund die Faltungs-Summenform eines FIR-Filters, mit der Impulsantwort, die durch den Ausdruck .5k gegeben wird. Und die Länge der Impulsantwort ist unendlich. So werden die gleichen Argumente, die wir früher gezeigt haben, dass FIR-Filter linear waren, nun hier gelten. So weit kann dies sehr viel Aufsehen über nicht viel sein. Was ist diese ganze Zeile der Untersuchung gut für gut beantworten diese Frage in Stufen, beginnend mit einem Beispiel. Es ist keine große Überraschung, dass wir eine abgetastete exponentielle durch rekursive Multiplikation berechnen können. Lets Blick auf einen rekursiven Filter, der etwas weniger offensichtlich macht. Dieses Mal macht es einen Filter zweiter Ordnung, so dass der Aufruf zum Filtern von der Form sein wird. Setzt den zweiten Ausgangskoeffizienten a2 auf -2cos (2pi40) und den dritten Ausgangskoeffizienten a3 auf 1 und schaut auf den Impuls Antwort. Nicht sehr nützlich als Filter, eigentlich, aber es erzeugt eine abgetastete Sinuswelle (aus einem Impuls) mit drei Multiplikations-Adds pro Probe Um zu verstehen, wie und warum es das tut und wie rekursive Filter entworfen und analysiert werden können Der allgemeinere Fall, müssen wir zurücktreten und einen Blick auf einige andere Eigenschaften von komplexen Zahlen, auf dem Weg zum Verständnis der Z-Transformation.
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